Selasa, 17 Juli 2012

Ukuran Pemusatan, Letak dan Penyebaran Data


I.   UKURAN PEMUSATAN DATA
A. Memahami Rataan Hitung ( Mean)
1.Rataan Hitung dari data tunggal
                     n
x =         xi     
                    i=1
Contoh: Tentukan rataan hitung dari data:
9  8  4  12  6  9  5  3 
Jawab: x =     xi
               =  ( 9+8+4+12+6+9+5+3 )
                   8
                =  7

2.Rataan hitung dari data berkelompok
x =

keterangan : xi = titik tengah interval kelas ke i
fi = frekuensi interval kelas ke i
Contoh :
Diketahui distribusi frekuensi :
Nilai
Frekuensi
41 -50
51 -60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100
2
5
14
10
6
2
Tentukan rataan hitung dari table diatas.
Jawab:
Nilai

Frekuensi
( fi )
Titik tengah
( xi )
Fi .xi
41 -50
51 -60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100
2
5
14
10
6
2
45,5
91



x =              =  …

         B. Menentukan rataan hitung dengan rataan sementara
1. Dengan simpangan rata-rata
Langkah-langkah  :
a.       pilih rattan sementara (xs) dapat diambil dari salah satu titik tengah
b.      Tentukan simpangan (di) dari tiap-tiap nilai (xi) terhadap rataan sementara yang dipilih, dengan rumus di = xi - xs  


c.       Rataan sesungguhnya ( yang dicari )  dapat dihitung menggunakan rumus :

x = xs +      fi . di   
   fi
Contoh :
Lengkapilah daftar distribusi frekuensi di bawah ini. Kemudian hitunglah rataan hitungnya dengan mengambil rataan sementara xs = 162
T badan (cm)
f
xi
di = xi - xs
fi . di
152 – 154
155 – 157
158 – 160
161 – 163
164 – 166
167 – 169
170 – 172
173 - 175
6
13
12
22
10
11
4
2
153
162
-9
0
0

f = 80


= …

X = xs +     fi.di  .
                  fi
 = 162 + …
= …
2. Dengan pengkodean (ui)
Langkah-langkah  :
a.       pilih rattan sementara (xs) dapat diambil dari salah satu titik tengah
b.      Tentukan kode (ui) dari tiap-tiap nilai (xi) terhadap rataan sementara yang dipilih, dengan rumus ui = xi - xs  
                                                            p
c.       Rataan sesungguhnya ( yang dicari )  dapat dihitung menggunakan rumus :
x = xs +      fi . ui  . p 
   fi
Keterangan : ui = 0, ± 1, ± 2, …
P = panjang interval kelas
Contoh :
Dengan menggunakan table distribusi frekuensi pada contoh di atas, hitunglah rataan hitung dengan cara pengkodean.
T badan (cm)
f
xi
ui = di
      p
fi . ui
152 – 154
155 – 157
158 – 160
161 – 163
164 – 166
167 – 169
170 – 172
173 - 175
6
13
12
22
10
11
4
2
153
162
-3…
0
0

f = 80


= …

X = xs +     fi.ui  . p
                  fi
 = 162 + …
= …
          C. Menentukan modus median dan kuartil.
1. Modus
Modus adalah nilai datum yang paling banyak munculatau nilai datum yang mempunyai frekuensi terbesar.
Contoh :
Diketahui nilai ulangan matematika 10 siswa sbb:
5  6  6  6  7  8  8  8  9  10
Jawab:
Modus (Mo) = 6 dan 8
Modus dat kelompok ditentukan dengan rumus

Mo = L  +    d1   .   p
                d1 + d2
Keterangan :
Mo = Modus
L    = Tb = tepi bawah kelas modus
d1    = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya
d2   = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya.
P    = panjang interval kelas
Contoh :
Tentukan modus dari data daftar distribusi frekuensi di bawah ini.
Nilai
Frekuensi
50 – 54
55 – 59
60 – 64
65 – 69
70 – 74
75 – 79
80 – 84
6
9
12
15
20
10
8

f = 80
Jawab :
Kelas Modus  70 -74
L = Tb = 69,5
di = 20 -15 = 5
d2 = 20 – 10 = 10
p = 5
Mo = 69,5 +   5    .  5
                     5+15
= 69,5 + 1,25
= 70,75 
                
II. UKURAN LETAK DATA
2. Median, kuartil dan desil
Median adalah nilai tengah setelah data diurutkan.
Quartil ada 3 yaitu : Q1 (kartil bawah),  2 ( Median ) , Q3 ( kuartil atas)    
Dapat diperoleh dengan rumus :  
Qi = Li + i / 4  n -  ( f )i   . p
                          Fi
Ket : Li     =  tepi bawah yang memuat kuartil bawah Qi
(f ) = jumlah frekuensi sebelumquartil bawah Qi
fi      = frekuensi kelas yang memuat kuarti bawah Qi
i       = 1,2,3
Contoh :
Dari table distribusi frekuensi di bawah ini tentukan Q1, Median atau Q2 dan Q3.


Nilai
frekuensi
F kumulatif
15 – 19
20 - 24
25 – 29
30 – 34
35 – 39
40 – 44
45 – 49
3
6
10
15
8
5
3
3
9
19
34
42
47
50

f = 50


 Jawab :
Q1 terletak pada data ke ¼ . 50 = 12,5  yaitu pada kelas 25 – 29.
Q1 = 24,5 + (12,5 – 9)/10 . 5
= 24,5 + 1,75 = 26,75
Q2 terdapat pada data ke  ½ . 50 = 25 yaitu pada kelas 30 -34.
Q2 = 29,5 + (15 – 19)/15 . 5
= 29,5 + …
=…
Q3 = …    +  …
= …
Desil adalah suatu nilai yang membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama banyak ( setelah data diurutkan). Cara menentukan Desil:
a.       Untuk data tunggal, dapat ditentukan dengan :
Di = i(n + 1)/10
b.      Untuk data kelompok, dapat ditentukan dengan :
Di = Li + (i/10 n – fk)/fi . p
Li = tepi bawah kelas
Fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas Di
Fi = frekuensi kelas Di
Contoh :
Tentukan D2 dan D7 dari data berikut   3  4  10  5  7  6  5  6  7  4   7  7  10  6
Jawab :
Data diurutkan terlebih dahulu dari yang terkecil sampai yang terbesar :
3  4  4  5  5  6  6  6  7  7  7  10
D2  teletak pada urutan nilai ke 2(12+1)/10 = 2,6
D2 = x2 + 0,6 ( x3-x2 )
= 4 + 0,6 (4 -4)
= 4 + 0 = 4
D7 terletak pada urutan nilai ke 7(12+1)/10 =9,1
D7 = x9 + 0,1 (x10 – x9)
= 7 + 0,1 (7-7)
= 7 + 0 = 7
Contoh untik data kelompok.
Tentukan Desil ke 7 dari data dibawah ini
Nilai
Frekuensi
50 – 54
55 – 59
60 – 64
65 – 69
70 – 74
75 – 79
80 – 84
6
9
12
15
20
10
8

f = 80
Jawab:
Nilai
Frekuensi
F kumulatif
50 – 54
55 – 59
60 – 64
65 – 69
70 – 74
75 – 79
80 – 84
6
9
12
15
20
10
8
6
15
27
42
62
72
80

D7 terletak pada data ke 7/10 x 80 = 56.
Kelas D7 pada interval 70 – 74
Fk = 42
F7 = 20
D7 = 69,5 + 56 – 42   . 5
                         20
= 69,5 + 3,5
= 73
III. UKURAN PENYEBARAN DATA
D. Menentukan Simpangan Rata-rata, Ragam, Simpangan Baku.
1. Simpangan Rata-rata ( Deviasi Rata-rata )
a.  Untuk data tunggal
SR = ∑| xi – x |   
               n
b. Untuk data kelompok
SR = Fi | xi – x |  
              fi
Ket : xi = ukuran data ke i
x = rataan hitung
|| = nilai mutlak
2. Ragam / Varian
1. Ragam data tunggal
S2 = ( xi – x )2
              n
2. Ragam data kelompok
S2 = fi ( xi – x )2
             fi
3. Simpangan Baku ( Deviasi Standart)
Simpangan baku adalah akar pangkat dua dari nilai ragam yang memilikisatuan yang sama dengan data.
S = S2
1. Untuk data tunggal
S = ( xi – x )2
              n
2. Untuk data kelompok
S = fi ( xi – x )2
             fi

Tidak ada komentar:

Posting Komentar