PELUANG

I. KAIDAH PENCACAHAN

Kaidah pencacahan adalah metode untuk menghitung berapa banyak cara yang mungkin terjadi dalam suatu percobaan.

Ada 3 kaidah pencacahan yaitu

         1. Aturan pengisian tempat yang tersedia

         2. Permutasi

         3. Kombinasi

Aturan pengisian tempat yang tersedia

Contoh

Dora mempunyai dua topi berwarna merah(m) dan hijau(h), dan mempunyai 3 sepatu warna biru(b), kuning(k), dan coklat(c). Berapa pasang topi dan sepatu yang bisa Dora pasangkan untuk di pakai?

Jawab:

a.       Dengan diagram pohon

b.      Dengan tabel

c.       Dengan pasangan berurutan

d.      Dengan aturan pengisian tempat yang tersedia

FAKTORIAL

n   Definisi:

               Untuk setiap n bil asli didefinisikan:

               n! = 1 x 2 x 3 x 4 x … x (n-1) x n

               atau

               n! = n x (n-1) x … x 4 x 3  x 2 x 1

               n! dibaca “n faktorial”

               0! = 1 demikian juga 1! = 1

Contoh:

1.3! = 3 x 2 x 1 = 6

Permutasi

Permutasi r unsur dari n unsur yang tersedia (ditulis Prn  atau nPr) yang tersedia

 (ditulis Prn  atau nPr) adalah banyak cara menyusun adalah banyak cara menyusun

r unsur yang berbeda diambil dari sekumpulan n unsur yang tersedia.

          Rumus:   nPr =    n!

                                (n-r)!

Contoh 1

Banyak cara menyusun pengurus yang terdiri dari Ketua, Sekretaris, dan Bendahara

yang diambil dari 5 orang calon adalah….

Penyelesaian

•banyak calon pengurus 5 ® n = 5 

•banyak pengurus yang akan dipilih 3  ® r = 3

        nPr =     n!          

                    (n-r)!

        ₅P₃ =   5!   =   5x4x3x2x1          

                         (5-3)!        2x1

                      = 60 cara                       

Contoh 2

Banyak bilangan yang terdiri dari tiga angka yang dibentuk dari angka-angka 3, 4, 5, 6, 7, dan 8, di mana setiap angka hanya boleh digunakan satu kali adalah….

Penyelesaian

•banyak angka =  6 ® n = 6 

•bilangan terdiri dari 3 angka   ® r = 3

        nPr =     n !     

                   (n-r)!             

        ₆P₃ =   6!   =   6x5x4x3x2x1

                  (6-3)!         3x2x1

              = 120 cara   

Kombinasi

Kombinasi r unsur dari n unsur yang tersedia (ditulis Crn  atau nCr) adalah banyak cara mengelompokan r unsur yang diambil dari sekumpulan n unsur yang tersedia.

          Rumus:   nCr =      n !   .

                                          (n-r)! r!

Contoh 1

Seorang siswa diharuskan mengerjakan 6 dari 8 soal,  tetapi nomor 1 sampai 4 wajib

dikerjakan . Banyak pilihan yang dapat diambil oleh siswa adalah….

Penyelesaian

• mengerjakan 6 dari 8 soal,  tetapi nomor 1 sampai 4 wajib  dikerjakan

• berarti tinggal memilih 2 soal lagi dari soal nomor 5 sampai 8

• r = 2 dan n = 4

• ₄C₂ =     4 !   .      =  4x3x2x1    =   6 cara

             (4-2)! 2!        2x1  . 2x1

Contoh 2

Dari sebuah kantong yang berisi10 bola merah dan 8 bola putih akan diambil 6 bola sekaligus secara acak. Banyak cara mengambil 4 bola merah dan 2 bola putih adalah….

Penyelesaian

• mengambil 4 bola merah dari 10 bola merah ® r = 4, n = 10 

      ₁₀C₄  =         10 !       =   10! 

                    (10-4)! 4!        6!  4!

                =    10x9x8x7x6!    =   210

                         6!   4!

• mengambil 2 bola putih dari  8 bola putih ® r = 2,  n = 8

       ₈C₂  =  8!      .  =      8x7x6!   .

               (8-2)! 2!          6! 2!

            = 28     

• Jadi banyak cara mengambil   4 bola merah dan 2 bola putih  adalah

  10C4 x 8C2 = 7.3.10 x 7.4

 = 5880 cara